3.247 \(\int (c+d x)^4 \sec (a+b x) \tan (a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=227 \[ \frac{24 d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{24 i d^4 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{24 i d^4 \text{PolyLog}\left (4,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b} \]

[Out]

((8*I)*d*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((12*I)*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/
b^3 + ((12*I)*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a +
b*x))])/b^4 - (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((24*I)*d^4*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*
x))])/b^5 - ((24*I)*d^4*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^5 + ((c + d*x)^4*Sec[a + b*x])/b

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.185714, antiderivative size = 227, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 10, number of rules used = 6, integrand size = 20, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.3, Rules used = {4409, 4181, 2531, 6609, 2282, 6589} \[ \frac{24 d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{24 i d^4 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{24 i d^4 \text{PolyLog}\left (4,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^4*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x],x]

[Out]

((8*I)*d*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((12*I)*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/
b^3 + ((12*I)*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a +
b*x))])/b^4 - (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((24*I)*d^4*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*
x))])/b^5 - ((24*I)*d^4*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^5 + ((c + d*x)^4*Sec[a + b*x])/b

Rule 4409

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[
((c + d*x)^m*Sec[a + b*x]^n)/(b*n), x] - Dist[(d*m)/(b*n), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Sec[a + b*x]^n, x], x] /; Fre
eQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

Rule 4181

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E
^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))],
x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e,
f}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^4 \sec (a+b x) \tan (a+b x) \, dx &=\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}-\frac{(4 d) \int (c+d x)^3 \sec (a+b x) \, dx}{b}\\ &=\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}+\frac{\left (12 d^2\right ) \int (c+d x)^2 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (12 d^2\right ) \int (c+d x)^2 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}+\frac{\left (24 i d^3\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (24 i d^3\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}-\frac{\left (24 d^4\right ) \int \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}+\frac{\left (24 d^4\right ) \int \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}\\ &=\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}+\frac{\left (24 i d^4\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{\left (24 i d^4\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}\\ &=\frac{8 i d (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{24 i d^4 \text{Li}_4\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{24 i d^4 \text{Li}_4\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 1.23976, size = 428, normalized size = 1.89 \[ \frac{(c+d x)^4 \sec (a+b x)}{b}-\frac{4 d \left (3 i b^2 d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )-3 i b^2 d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )-6 b c d^2 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )+6 b c d^2 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )-6 b d^3 x \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )+6 b d^3 x \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )-6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{i (a+b x)}\right )+6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,i e^{i (a+b x)}\right )+3 b^3 c^2 d x \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right )-3 b^3 c^2 d x \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right )-2 i b^3 c^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )+3 b^3 c d^2 x^2 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right )-3 b^3 c d^2 x^2 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right )+b^3 d^3 x^3 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right )-b^3 d^3 x^3 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right )\right )}{b^5} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^4*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x],x]

[Out]

(-4*d*((-2*I)*b^3*c^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))] + 3*b^3*c^2*d*x*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] + 3*b^3*c*d^2*x^2*Log
[1 - I*E^(I*(a + b*x))] + b^3*d^3*x^3*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] - 3*b^3*c^2*d*x*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] -
3*b^3*c*d^2*x^2*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] - b^3*d^3*x^3*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] + (3*I)*b^2*d*(c + d*x)^2*
PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))] - (3*I)*b^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))] - 6*b*c*d^2*PolyLog[3
, (-I)*E^(I*(a + b*x))] - 6*b*d^3*x*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))] + 6*b*c*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))]
+ 6*b*d^3*x*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))] - (6*I)*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))] + (6*I)*d^3*PolyLog[4,
I*E^(I*(a + b*x))]))/b^5 + ((c + d*x)^4*Sec[a + b*x])/b

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.315, size = 767, normalized size = 3.4 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^4*sec(b*x+a)*tan(b*x+a),x)

[Out]

24*I*d^3/b^3*c*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))*x+24*I*d^3/b^4*c*a^2*arctan(exp(I*(b*x+a)))-24*I*d^2/b^3*c^2*a*arct
an(exp(I*(b*x+a)))+24*I*d^4*polylog(4,-I*exp(I*(b*x+a)))/b^5+2*exp(I*(b*x+a))*(d^4*x^4+4*c*d^3*x^3+6*c^2*d^2*x
^2+4*c^3*d*x+c^4)/b/(exp(2*I*(b*x+a))+1)-24*d^4/b^4*polylog(3,I*exp(I*(b*x+a)))*x+24*d^4/b^4*polylog(3,-I*exp(
I*(b*x+a)))*x-4*d^4/b^5*a^3*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))+4*d^4/b^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x^3-4*d^4/b^2*ln(1-I*exp(I
*(b*x+a)))*x^3-24*d^3/b^4*c*polylog(3,I*exp(I*(b*x+a)))+4*d^4/b^5*a^3*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))+24*d^3/b^4*c*poly
log(3,-I*exp(I*(b*x+a)))-24*I*d^4*polylog(4,I*exp(I*(b*x+a)))/b^5-24*I*d^3/b^3*c*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))*
x-12*d^2/b^3*c^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*a+12*d^3/b^2*c*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x^2-12*d^3/b^2*c*ln(1-I*exp(I*(b
*x+a)))*x^2+12*I*d^2/b^3*c^2*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))-12*I*d^4/b^3*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))*x^2+12*I*d^
4/b^3*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))*x^2-12*I*d^2/b^3*c^2*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))-8*I*d^4/b^5*a^3*arctan(exp
(I*(b*x+a)))+8*I*d/b^2*c^3*arctan(exp(I*(b*x+a)))+12*d^3/b^4*c*a^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))+12*d^2/b^2*c^2*ln(1+
I*exp(I*(b*x+a)))*x+12*d^2/b^3*c^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*a-12*d^3/b^4*c*a^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))-12*d^2/b^2
*c^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 3.0425, size = 3974, normalized size = 17.51 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*sec(b*x+a)*tan(b*x+a),x, algorithm="maxima")

[Out]

(2*(4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + 4*(b*x + a)*cos(b*
x + a) - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^
2 + 2*sin(b*x + a) + 1) + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^
2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1))*c^3*d/((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a)
+ 1)*b) - 6*(4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + 4*(b*x +
a)*cos(b*x + a) - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin
(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos
(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1))*a*c^2*d^2/((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*co
s(2*b*x + 2*a) + 1)*b^2) + 6*(4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)*sin(b*x
+ a) + 4*(b*x + a)*cos(b*x + a) - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(
b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2
*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1))*a^2*c*d^3/((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x
+ 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*b^3) - 2*(4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + 4*(b*x + a)*sin(2*b*
x + 2*a)*sin(b*x + a) + 4*(b*x + a)*cos(b*x + a) - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*
a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 +
2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1))*a^3*d^4/((cos(2*b*x + 2*a)
^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*b^4) + c^4/cos(b*x + a) - 4*a*c^3*d/(b*cos(b*x + a)) + 6*a^2
*c^2*d^2/(b^2*cos(b*x + a)) - 4*a^3*c*d^3/(b^3*cos(b*x + a)) + a^4*d^4/(b^4*cos(b*x + a)) + ((4*(b*x + a)^3*d^
4 + 12*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 12*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a) + 4*((b*x + a)^3*d^4
+ 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-4
*I*(b*x + a)^3*d^4 + (-12*I*b*c*d^3 + 12*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (-12*I*b^2*c^2*d^2 + 24*I*a*b*c*d^3 - 12*I*a^2
*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(cos(b*x + a), sin(b*x + a) + 1) + (4*(b*x + a)^3*d^4 + 12*(b*c*d^3
- a*d^4)*(b*x + a)^2 + 12*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a) + 4*((b*x + a)^3*d^4 + 3*(b*c*d^3 -
a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-4*I*(b*x + a)^3*d
^4 + (-12*I*b*c*d^3 + 12*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (-12*I*b^2*c^2*d^2 + 24*I*a*b*c*d^3 - 12*I*a^2*d^4)*(b*x + a))
*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(cos(b*x + a), -sin(b*x + a) + 1) - (2*I*(b*x + a)^4*d^4 + (8*I*b*c*d^3 - 8*I*a*d^4)
*(b*x + a)^3 + (12*I*b^2*c^2*d^2 - 24*I*a*b*c*d^3 + 12*I*a^2*d^4)*(b*x + a)^2)*cos(b*x + a) + (12*b^2*c^2*d^2
- 24*a*b*c*d^3 + 12*(b*x + a)^2*d^4 + 12*a^2*d^4 + 24*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a) + 12*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*
d^3 + (b*x + a)^2*d^4 + a^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-12*I*b^2*c^2*d^2 + 24*I*
a*b*c*d^3 - 12*I*(b*x + a)^2*d^4 - 12*I*a^2*d^4 + (-24*I*b*c*d^3 + 24*I*a*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*di
log(I*e^(I*b*x + I*a)) - (12*b^2*c^2*d^2 - 24*a*b*c*d^3 + 12*(b*x + a)^2*d^4 + 12*a^2*d^4 + 24*(b*c*d^3 - a*d^
4)*(b*x + a) + 12*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (b*x + a)^2*d^4 + a^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*cos(
2*b*x + 2*a) + (12*I*b^2*c^2*d^2 - 24*I*a*b*c*d^3 + 12*I*(b*x + a)^2*d^4 + 12*I*a^2*d^4 + (24*I*b*c*d^3 - 24*I
*a*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-I*e^(I*b*x + I*a)) - (-2*I*(b*x + a)^3*d^4 + (-6*I*b*c*d^3 + 6*I*a
*d^4)*(b*x + a)^2 + (-6*I*b^2*c^2*d^2 + 12*I*a*b*c*d^3 - 6*I*a^2*d^4)*(b*x + a) + (-2*I*(b*x + a)^3*d^4 + (-6*
I*b*c*d^3 + 6*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (-6*I*b^2*c^2*d^2 + 12*I*a*b*c*d^3 - 6*I*a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x +
2*a) + 2*((b*x + a)^3*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a
))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) - (2*I*(b*x + a)^3*d^4 + (6*I*b
*c*d^3 - 6*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (6*I*b^2*c^2*d^2 - 12*I*a*b*c*d^3 + 6*I*a^2*d^4)*(b*x + a) + (2*I*(b*x + a)^
3*d^4 + (6*I*b*c*d^3 - 6*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (6*I*b^2*c^2*d^2 - 12*I*a*b*c*d^3 + 6*I*a^2*d^4)*(b*x + a))*co
s(2*b*x + 2*a) - 2*((b*x + a)^3*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4
)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1) - 24*(d^4*cos(2*b*x +
2*a) + I*d^4*sin(2*b*x + 2*a) + d^4)*polylog(4, I*e^(I*b*x + I*a)) + 24*(d^4*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^4*sin(2*b
*x + 2*a) + d^4)*polylog(4, -I*e^(I*b*x + I*a)) - (-24*I*b*c*d^3 - 24*I*(b*x + a)*d^4 + 24*I*a*d^4 + (-24*I*b*
c*d^3 - 24*I*(b*x + a)*d^4 + 24*I*a*d^4)*cos(2*b*x + 2*a) + 24*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*sin(2*b*x + 2
*a))*polylog(3, I*e^(I*b*x + I*a)) - (24*I*b*c*d^3 + 24*I*(b*x + a)*d^4 - 24*I*a*d^4 + (24*I*b*c*d^3 + 24*I*(b
*x + a)*d^4 - 24*I*a*d^4)*cos(2*b*x + 2*a) - 24*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3,
-I*e^(I*b*x + I*a)) + 2*((b*x + a)^4*d^4 + 4*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a
^2*d^4)*(b*x + a)^2)*sin(b*x + a))/(-I*b^4*cos(2*b*x + 2*a) + b^4*sin(2*b*x + 2*a) - I*b^4))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 0.784666, size = 2930, normalized size = 12.91 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*sec(b*x+a)*tan(b*x+a),x, algorithm="fricas")

[Out]

(b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + 6*b^4*c^2*d^2*x^2 + 4*b^4*c^3*d*x + b^4*c^4 - 12*I*d^4*cos(b*x + a)*polylog(4
, I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 12*I*d^4*cos(b*x + a)*polylog(4, I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + 12*I*d^4*
cos(b*x + a)*polylog(4, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + 12*I*d^4*cos(b*x + a)*polylog(4, -I*cos(b*x + a) - s
in(b*x + a)) + (6*I*b^2*d^4*x^2 + 12*I*b^2*c*d^3*x + 6*I*b^2*c^2*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(
b*x + a)) + (6*I*b^2*d^4*x^2 + 12*I*b^2*c*d^3*x + 6*I*b^2*c^2*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(I*cos(b*x + a) - sin(b*x
+ a)) + (-6*I*b^2*d^4*x^2 - 12*I*b^2*c*d^3*x - 6*I*b^2*c^2*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x
+ a)) + (-6*I*b^2*d^4*x^2 - 12*I*b^2*c*d^3*x - 6*I*b^2*c^2*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x +
a)) - 2*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*cos(b*x + a)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a
) + I) + 2*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*cos(b*x + a)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x +
a) + I) - 2*(b^3*d^4*x^3 + 3*b^3*c*d^3*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + 3*a*b^2*c^2*d^2 - 3*a^2*b*c*d^3 + a^3*d^4)*cos
(b*x + a)*log(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) + 2*(b^3*d^4*x^3 + 3*b^3*c*d^3*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + 3*a*b^
2*c^2*d^2 - 3*a^2*b*c*d^3 + a^3*d^4)*cos(b*x + a)*log(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) - 2*(b^3*d^4*x^3 + 3*
b^3*c*d^3*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + 3*a*b^2*c^2*d^2 - 3*a^2*b*c*d^3 + a^3*d^4)*cos(b*x + a)*log(-I*cos(b*x + a)
+ sin(b*x + a) + 1) + 2*(b^3*d^4*x^3 + 3*b^3*c*d^3*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + 3*a*b^2*c^2*d^2 - 3*a^2*b*c*d^3 + a
^3*d^4)*cos(b*x + a)*log(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) - 2*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3
- a^3*d^4)*cos(b*x + a)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) + 2*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d
^3 - a^3*d^4)*cos(b*x + a)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I) + 12*(b*d^4*x + b*c*d^3)*cos(b*x + a)*polyl
og(3, I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 12*(b*d^4*x + b*c*d^3)*cos(b*x + a)*polylog(3, I*cos(b*x + a) - sin(b*x
+ a)) + 12*(b*d^4*x + b*c*d^3)*cos(b*x + a)*polylog(3, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 12*(b*d^4*x + b*c*d^
3)*cos(b*x + a)*polylog(3, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)))/(b^5*cos(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (c + d x\right )^{4} \tan{\left (a + b x \right )} \sec{\left (a + b x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**4*sec(b*x+a)*tan(b*x+a),x)

[Out]

Integral((c + d*x)**4*tan(a + b*x)*sec(a + b*x), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (d x + c\right )}^{4} \sec \left (b x + a\right ) \tan \left (b x + a\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*sec(b*x+a)*tan(b*x+a),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^4*sec(b*x + a)*tan(b*x + a), x)